0 前言
五軸加工在三軸加工基礎(chǔ)上增加了兩個旋轉(zhuǎn)軸，從而使加工方式更加靈活，材料去除率更高，加工時間更短，可以處理更為復(fù)雜的工件[1-2]。但是旋轉(zhuǎn)軸的運動也使刀具姿態(tài)控制更為復(fù)雜，從而引入許多五軸加工所特有的問題[3-4]。奇異點問題就是其中重要的一個。當(dāng)?shù)毒咄ㄟ^奇異點附近區(qū)域(本文稱奇異區(qū)域)時，旋轉(zhuǎn)軸會產(chǎn)生不連續(xù)并且急速的轉(zhuǎn)動，這大大增加了非線性誤差，同時極易破壞工件，甚至損傷機床部件[5-6]。因此，對奇異區(qū)域內(nèi)的刀具路徑進行優(yōu)化處理，對于提高加工精度和加工效率至關(guān)重要。
AFFOUARD 等[6]提出通過多項式插補修改刀具路徑來避開奇異位置，但是插補算法復(fù)雜，計算上代價較大。MUNLIN 等[7-8]通過選擇奇異點附近旋轉(zhuǎn)軸運動的最短路徑來減小誤差，但該方法在選擇轉(zhuǎn)角取值時，考慮的是相鄰點轉(zhuǎn)角變化量的相對值最小，而相鄰點之間轉(zhuǎn)角變化量的絕對值可能較大，出現(xiàn)這樣的情況時誤差仍然較大。SORBY[9]提出的方法是在奇異點附近插入刀位點，同時修改C軸轉(zhuǎn)角，避免加工通過奇異點時誤差過大，但由于之前沒有對奇異區(qū)域的范圍進行檢測，因此當(dāng)?shù)毒叽┻^奇異區(qū)域卻不經(jīng)過奇異點時，加工精度不夠理想。王丹等[10]給出的通用的五軸加工非線性誤差控制算法也可以運用到奇異區(qū)域的處理上，但由于單純采用線性插值，使奇異區(qū)域內(nèi)的加工速度大大降低，而且插值過密容易導(dǎo)致機床頻繁地做加減速運動，易引起刀具顫振。
針對以上問題，本文在前人研究的基礎(chǔ)上，以AC 雙轉(zhuǎn)臺五軸機床為例，給出一種將優(yōu)化C 軸轉(zhuǎn)角(簡稱C 角)、修改刀軸方向、遞歸線性插值三者結(jié)合的刀具路徑優(yōu)化算法，從而在提高奇異區(qū)域內(nèi)加工精度的同時，保證速度盡量快、加工更平穩(wěn)。
1 五軸機床的運動學(xué)方程
1.1 AC 雙轉(zhuǎn)臺五軸機床正向反向運動學(xué)變換本文以AC 雙轉(zhuǎn)臺五軸機床作為研究對象(圖1)。首先根據(jù)其機床結(jié)構(gòu)和運動鏈建立機床正向運動學(xué)方程。設(shè)工件坐標系坐標原點為Ow，工件坐標系下的刀具位置矢量為pw=(xw yw zw)T，刀具方向矢量為uw=(i j k) T；機床坐標系原點為Om，機床線性軸運動矢量為pm=(xm ym zm)T，機床旋轉(zhuǎn)軸為A 和C，對應(yīng)的機床轉(zhuǎn)角分別為α 和γ。
根據(jù)圖1 所示的運動鏈，AC 雙轉(zhuǎn)臺五軸機床的正向運動學(xué)方程如下.
由式(3)計算出的原始C 角在(–π, π]之間。由表1 可知，如果相鄰點之間i 或j 的方向發(fā)生變化，C角可能會發(fā)生劇烈變化。例如第n 點刀軸方向為 (0.100 0, –0.100 0, 0.989 9)，第n+1 點的刀軸方向為 (–0.100 0, –0.100 0, 0.989 9)，直接依據(jù)式(3)計算出來的C角分別為3/ 4π 和−3/ 4π ，相距3/ 2π 。由式 (4)～(7)可知，線性軸的取值與旋轉(zhuǎn)軸有關(guān)，C 角變化劇烈會導(dǎo)致線性軸變化劇烈，從而產(chǎn)生較大的誤差。因此需要對原始的C 角進行修正。由于正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都以2π 為周期，因此利用這一特性在反解三角函數(shù)的過程中修改C 角的取值
式中 n 1 γ + ′ ——修改后的第n+1 點的C 角取值n 1 γ + ——修改前的第n+1 點的C 角取值n γ ——修改前的第n 點的C 角取值經(jīng)過這樣處理后，加工路徑上Δγ ( n 1 n γ γ + − )都不超過π ，過大轉(zhuǎn)角得到初步控制。對于AC 雙轉(zhuǎn)臺五軸機床來說，C 軸對線性軸的影響大，A 軸較小[11]。因此只需要對C 角進行優(yōu)化即可。
2 奇異區(qū)域內(nèi)的優(yōu)化方法
2.1 奇異點和奇異區(qū)域
由圖1 可知，當(dāng)α=0 時，刀軸與轉(zhuǎn)臺臺面垂直， C 角取任何值刀軸方向都不會改變，造成自由度丟失。根據(jù)式(2)～(3)也可以看到，α=0 時，刀具方向矢量為 (0,0,1)，此時γ = arctan(0 / 0) ，無解，在Matlab 中規(guī)定為0。對于AC 雙轉(zhuǎn)臺機床，刀軸方向為(0,0,1) 的點就是奇異點。盡管在反運動學(xué)變換過程中修正了C 角的取值，但是如果刀具經(jīng)過奇異點附近即奇異區(qū)域時，Δγ 仍然很大，甚至可能達到π 。刀具進入奇異區(qū)域后，越接近奇異點，C 角變化越劇烈，由此產(chǎn)生的非線性誤差越顯著，對工件和刀具可能造成的損害也越大。需指出的是，刀具經(jīng)過奇異區(qū)域并不一定會經(jīng)過奇異點，而經(jīng)過奇異點就一定是經(jīng)過了奇異區(qū)域。
對于奇異區(qū)域的范圍，可以采用基于機床雅可比矩陣條件數(shù)的方法來界定：首先根據(jù)機床的運動學(xué)方程和相鄰點各軸運動變化量建立五軸機床雅可比矩陣，然后求解雅可比矩陣的條件數(shù)，如果條件數(shù)超過給定值，則可以判定當(dāng)前加工區(qū)間處于奇異區(qū)域內(nèi)[12]。
2.2 奇異點及其附近的C 角處理
造成奇異區(qū)域內(nèi)非線性誤差過大的原因一般有兩個：一是因為奇異點處i 和j 均為0，造成C角值不能確定；二是因為奇異點前后兩點的i 或j可能會發(fā)生變號造成的。下面分別就這兩種情況給出處理方法。
2.2.1 第一種情況
對于第一種情況，由于當(dāng)?shù)毒咴谄娈慄c位置時，刀軸與轉(zhuǎn)臺臺面垂直，C 角無論取何值都不會影響該點的刀軸方向，因此可以指定這一點的C 角值。設(shè)指定后的C 角值為γ ′ ，奇異點前后兩點的C角值分別為1 γ 和2 γ 。設(shè)定的C 角值要使1 γ ，γ ′ ， 2 γ波動最小，需要三者方差最小。奇異點處C 角設(shè)定方法如下
這樣，奇異點左右兩個區(qū)間的Δγ 都不超過π/2，過大的Δγ 有效降低。表2 給出一處奇異點附近的刀位數(shù)據(jù)。表3 是對應(yīng)的機床各軸運動坐標數(shù)據(jù)。
刀具從第1 點走到第3 點，C 角一共變化了π ，但由于第2 點和第1 點之間的Δγ = π ，所以導(dǎo)致這兩點之間的路徑呈現(xiàn)為一個很大的弧。按照上述方法對奇異點處C 角進行設(shè)定。之后根據(jù)設(shè)定的角度修改x，y，z 軸的取值。
表4 給出奇異點處C 角設(shè)定后的機床各軸運動坐標。
可知，盡管處理后z 軸方向比原先增加了0.3mm 左右的誤差，但是卻使x 軸方向的誤差減小了大約40 mm，y 軸方向的誤差減小了大約20 mm。整體誤差大大降低。
2.2.2 第二種情況
第二種情況是奇異點附近可能會存在軸對稱的點，即位置坐標和方向矢量都關(guān)于三維空間某一坐標軸對稱。對AC 機床來說，對稱的兩點z 軸坐標總是相同的，因此只需要研究Oxy 平面上投影的情況。若方向矢量的投影關(guān)于y 軸對稱，則i 絕對值相同，符號相反；若方向矢量的投影關(guān)于x 軸對稱的兩點，則j 絕對值相同，符號相反。這樣，相鄰兩點的C 角就可能相差超過π/2 。圖3 所示為一種奇異點附近的對稱情況。
以C 角從第一象限轉(zhuǎn)到第二象限為例說明。當(dāng)i ≥ 0且j>0 時，C 角在第一象限，設(shè)此時γ =θ 。若i 不變，j 變號，C角轉(zhuǎn)到第二象限，此時的γ = π −θ 。C角的變化量Δγ = π −θ −θ = π − 2θ 。當(dāng)| i |≥| j |時，π/4 ≤θ < π/2 ， 0 < Δγ ≤ π/2 ； 當(dāng)| i |<| j | 時， 0 <θ < π/4，π/2 < Δγ ≤ π。因此，當(dāng)C角從第一象限轉(zhuǎn)到第二象限時， 若| i |<| j | ， 令| i′ |=| j′ |= (| i | + | j |) / 2，就可以保證旋轉(zhuǎn)不超過π/2 ,其中i′ 和j′ 分別表示修改后刀軸方向矢量在工件坐標系的x 軸和y 軸方向的分量。
同理可得出其他象限的情況，如表5 所示.
需要說明的是，如果兩點不是軸對稱，而是中心對稱，則上述方法無法將Δγ 控制到π/2以內(nèi)，這時只能通過插值法進行處理。
盡管傾斜刀具可以調(diào)整C 角，從而降低非線性誤差，但同時也會帶來過切和欠切誤差。下面通過比較二者的誤差大小來證明傾斜刀軸的有效性。以平底刀為例。設(shè)刀具直徑為d，刀具傾斜角為δ ，由此產(chǎn)生的過切和欠切誤差為h。
易知
h = d sinδ (9)
設(shè)原來的刀軸方向矢量為a ，修改后的刀軸方向矢量為b ，則sinδ = (| a × b |) /(| a |i| b |) 。由于| a |=| b |=1，所以sinδ =| a × b |。
令| k |= 0.995 0 時刀具進入奇異區(qū)域，可知0 ≤| i |≤ 0.099 9，0 ≤| j |≤ 0.099 9 。下面分析刀具從第一象限進入第二象限的情況，其他情況同理。當(dāng)前一點刀軸矢量為(0, 0.099 9, 0.995 0)，后一點刀軸矢量為(0, –0.099 9, 0.995 0)時，Δγ = π，變化量最大。根據(jù)上面方法對前后兩點分別進行修改。前一點為(0.05, 0.05, 0.997 5)，后一點為(0.05, –0.05, 0.997 5)。sinα = 0.070 5。若平底刀直徑取6 mm，則過切和欠切誤差h=0.423 mm。也就是說，對于直徑6 mm 的平底刀，修改刀軸方向引入的最大過切和欠切誤差為0.423 mm，而過大的C 角由π 降到π/2 ，由此降低的非線性誤差遠大于新引入的過切和欠切誤差。因此在奇異點附近傾斜刀軸是有效的。表6 給出一處奇異點附近的刀位數(shù)據(jù)。表7 是對應(yīng)的機床各軸運動坐標。
由表4 可見，由于j 符號發(fā)生變化，且| i |<| j |，第2 點和第3 點間的C 角變化超過π/2 。同時看到第1 點與第2 點以及而第3 點與第4 點間的變化很小，因此可以考慮修改第2 點和第3 點處的刀軸方向，適當(dāng)增加其他兩個區(qū)間的C 角變化量，來降低奇異點附近的過大C 軸轉(zhuǎn)動8 為修改后的刀位數(shù)據(jù)。表9 為對應(yīng)的機床各軸運動坐標。
圖5 是傾斜刀軸前后的路徑對比圖。4 個點的C 角方差由修改前的2.484 5 降到1.854 4，波動變小。最大非線性誤差由16.680 8 mm 降到8.810 4mm，平均誤差也由6.075 5 mm 降到4.903 3 mm。使用直徑6 mm 的平底刀，傾斜刀軸所引入的過切和欠切誤差僅為0.106 8 mm。由此可見，整體誤差大大降低。
2.3 遞歸插點
經(jīng)過以上處理后，大部分Δγ 都降到π/2以下(除非存在中心對稱的刀位點)。如果還需要進一步提高加工精度，則通過插點對加工路徑進行線性化。
設(shè)相鄰兩個刀位點為( w, w ) p′ u′ 和( w, w ) p′′ u′′ 。設(shè)實際加工路徑的中點與編程直線的中點之間的距離為r 。最大允許誤差為ω 。若r >ω ，在相鄰刀位點中點處插入新的刀位點( pw,uw )，然后檢查( w, w ) p′ u′ 與 ( pw,uw )之間、( pw,uw )與( w, w ) p′′ u′′ 之間的非線性誤差是否超過ω 。如此遞歸進行，直到r ≤ω 。
插入新刀位點時將刀具的位姿同旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)角結(jié)合起來考慮，具體方法如下：設(shè)(α0 ,γ 0 ) 和 (α1,γ 1)分別為刀位點( w, w ) p′ u′ 與( w, w ) p′′ u′′ 所對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角坐標。首先，計算(α0 ,γ 0 )和(α1,γ 1)的中值對應(yīng)的方向矢量w u ，然后求w ′p 與wp′′的中值pw，最后將pw與uw組成新刀位點( pw,uw )。若直接令w ( w w ) / 2 p = p′ + p′′ ，再用式(2)和式(3)求解中點處的α 、γ ，則不能有效降低誤差，原因是奇異區(qū)域內(nèi)分量i 和j 接近0，造成C 角值偏差很大。
2.4 整體優(yōu)化流程
綜上所述，奇異區(qū)域的優(yōu)化處理流程如圖6 和圖7 所示。
3 加工試驗
下面通過仿真試驗和實際加工對上文給出的算法進行驗證。選擇直徑6 mm 的球頭刀進行加工。加工曲面S(u,v)的參數(shù)方程如式(10)所示
式中，u, v 為曲面方程的參數(shù)。表10、11 給出初始刀位點和初始機床各軸運動坐標?？梢钥吹狡娈慄c附近的兩種情況所導(dǎo)致的C 軸過大偏轉(zhuǎn)。
圖8 所示是所給加工曲面的Matlab 仿真效果圖。經(jīng)過對C 角初步優(yōu)化后，過大的環(huán)形軌跡得到初步控制，再通過二次優(yōu)化和插值處理，得到的路徑與理想路徑基本接近。
實際加工的路徑對比如圖9 所示。圖9a 實線圈出的是奇異區(qū)域內(nèi)的過大環(huán)狀軌跡，其中靠下面的兩個是第一種情況，靠上面的兩個是第二種情況?？梢钥吹?，處理后加工路徑更加平滑，加工精度大大提高，實際的加工情況與理論分析結(jié)果一致。需要說明的是，由于過大環(huán)形軌跡會對刀具造成損害，因此未對圖8b 所示的情況進行實際加工。采用直接插點法，需插入737 個點才能將最大非線性誤差降到0.099 8 mm。而采用綜合方法處理時，新插入點304 個，最大非線性誤差0.098 4 mm，速度是直接插點法的二倍。
4 結(jié)論
(1) 本文在對奇異區(qū)域內(nèi)五軸加工過程的處理上，根據(jù)相鄰點C 角變化量大小，依次進行C 角的初次優(yōu)化、C 角的二次優(yōu)化、加工路徑線性化處理。盡管這個過程會引入新的過切和欠切誤差，并且為了降低某一個區(qū)間的過大誤差而增加了其他區(qū)間的誤差，但是整體的誤差得到了有效控制，同時增加的誤差也在允許范圍內(nèi)。
(2) 這種處理方式既保證了奇異區(qū)域內(nèi)的加工精度，有效地保護了工件和機床部件，又盡可能地減少了插點的數(shù)量，使奇異區(qū)域內(nèi)的加工速度盡量提高。
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