數控機床熱誤差補償模型穩健性比較分析
2015-12-18 來源：數控機床市場網 作者：合肥工業大學儀器科學與光電工程學院苗恩銘
摘要：數學模型的精度特性和穩健性特性對數控機床熱誤差補償技術在實際中的實施性影響不容忽視。論文對數控加工中心關鍵點的溫度和主軸 z 向的熱變形量采用多種算法建立了預測模型，對不同算法擬合精度進行分析。同時全年進行熱誤差跟蹤試驗，獲得了機床在不同環境溫度和不同主軸轉速的試驗條件下的敏感點溫度和熱誤差值。以此為基礎，對各種預測模型的預測精度進行比較驗證不同模型的穩健性。結果表明，多元線性回歸算法的最小一乘、最小二乘估計模型以及分布滯后模型在改變試驗條件時預測精度下降，而基于支持向量回歸機原理的熱誤差補償模型仍能保持較好的預測精度，穩性強。這為數控機床熱誤差補償模型的選擇提供了具有實用價值的參考，具有很好工程應用性。
關鍵詞：數控機床；熱誤差；穩健性；多元線性回歸模型；分布滯后模型；支持向量回歸機
0 前言
在數控機床的各種誤差源中，熱誤差已經成為影響零件加工精度主要誤差來源。減少熱誤差是提高數控機床加工精度的關鍵。在熱誤差補償中，建模技術則是重點。由于機床熱誤差在很大程度上取決于加工條件、加工周期、切削液的使用以及周圍環境等等多種因素，而且熱誤差呈現非線性及交互作用，所以僅用理論分析來精確建立熱誤差數學模型是相當困難的。最為常用的熱誤差建模方法為試驗建模法，即根據統計理論對熱誤差數據和機床溫度值作相關分析。楊建國等提出了數控機床熱誤差分組優化建模，根據溫度變量之間的相關性對溫度變量進行分組，再與熱誤差進行排列組合逐一比較選出溫度敏感點用于回歸建模。韓國的KIM 等運用有限元法建立了機床滾珠絲杠系統的溫度場。密執安大學的YANG 等運用小腦模型連接控制器(CMAC)神經網絡建立了機床熱誤差模型。
ZENG等用粗糙集人工神經網絡對數控機床熱誤差分析與建模，并對建模精度進行了論證。Chen Cheng等運用聚類分析理論和逐步回歸選擇三坐標測量機熱誤差溫度敏感點，用PT100測量溫度、激光干涉儀測量三坐標測量機熱誤差，建立了多元線性模型。由于這些建模方式是離線和預先建模，而且建模數據采集于某段時間，故用這些方法建立起來的熱誤差數學模型的穩健性顯然不夠，一般隨著季節的變化難以長期正確地預報熱誤差。近年來，支持向量機是發展起來的一種專門研究小樣本情況下的機器學習規律理論，被認為是針對小樣本統計和預測學習的最佳理論。支持向量機建立在VC維理論基礎上, 采用結構風險最小化原則, 不僅結構簡單, 且有效解決了模型選擇與欠學習、過學習、小樣本、非線性、局部最優和維數災難等問題，泛化能力大大提高。本文對Leader way V-450型數控加工中心進行熱誤差測量試驗，采用模糊聚類與灰色關聯度理論綜合應用進行了溫度敏感點選擇，同時利用多元線性回歸模型，分布滯后模型，支持向量回歸機模型分別建立熱誤差補償模型，并對多元回歸模型分別采用最小二乘和最小一乘估計，通過比對各種模型的穩健性，從而為數控機床熱誤差補償建模方法的選擇提供了參考，具有實際的工程應用價值。
1 熱誤差建模模型
1.1 多元線性回歸模型
多元線性回歸(MLR)是一種用統計方法尋求多輸入和單輸出關系的模型。熱誤差的多元線性回歸模型以多個關鍵溫度敏感點測量的溫度增量值為自變量，以熱變形量為因變量，其通用表達式為
式中， 
為關鍵溫度敏感點溫度測量增量值， 
為溫度變量的系數，y i 為熱變形測量值， ei是與實際測量值 yi存在的偏差,也稱殘差。
為關鍵溫度敏感點溫度測量增量值， 為溫度變量的系數，y i 為熱變形測量值， ei是與實際測量值 yi存在的偏差,也稱殘差。 同時，采用最小一乘和最小二乘兩種準則對線性回歸模型進行估計計算。最小二乘法在方法上較為成熟，在理論上也較為完善，是一種常用的最優擬合方法，目前廣泛應用于科學技術領域的許多實際問題中，在數控機床建模技術中也有很多的應用。而最小一乘法受異常值的影響較小，其穩健性比最小二乘法的要好，但最小一乘回歸屬于不可微問題，計算具有較大的難度。文中針對最小一乘的算法采用文獻[13]的算法理論和 Matlab 程序。 最小二乘準則——殘差平方和最小，即
最小一乘準則——殘差絕對值和最小，即
1.2 分布滯后模型
如果因變量不僅與一個或多個解釋變量的當前值有關系而且與其若干滯后值有關系，描述這種關系的模型稱為分布滯后模型(DL)，記為 
對于滯后階數 n 的確定，由于試驗測量數據量比較大，所以可以采用簡單的權宜估計法。即取n=1,2,…,i，對不同的 i 條件下經最小二乘擬合，當滯后變量的回歸系數開始變得統計不顯著， 或其中有一個變量的系數改變符號時，i-1 就是最終的滯后階數。
1.3 ε- 支持向量回歸機模型 (SVR)
統計學習理論是由 VAPNIK[11]建立的一種專門研究有限樣本情況下機器學習規律的理論，支持向量機是在這一理論基礎上發展起來的一種新的分類和回歸工具。支持向量機通過結構風險最小化原理來提高泛化能力，并能較好地解決小樣本、非線性、高維數、局部極小點等實際問題，其已在模式識別、信號處理、函數逼近等領域應用。
1.3.1 ε-支持向量回歸機的原理
根據結構風險最小化原理，ε-支持向量回歸機的函數建模問題就是尋找使下面目標函數風險
優先選擇高斯徑向基核函數用于熱誤差建模。當選用高斯徑向基核函數時，訓練結果精度以及穩健性取決于g和C的取值。支持向量機參數選擇方法通常包括基于網絡遍歷尋參算法、交叉驗證法等，而交叉驗證方法應用比較簡單、實用性強，本文根據交叉驗證法優化模型參數[14]。
2 試驗設計
2.1 試驗方案
本文對 Leader way V-450 數控加工中心主軸 z向進行熱誤差測量試驗，各傳感器的安放位置及作用如表 1 所示，溫度傳感器和電感測微儀具體分布位置如圖 1 所示。
試驗對數控加工中心在不同季節(不同環境溫度)、不同主軸轉速下進行了九次熱誤差測量試驗，測量的次數、轉速及環境溫度如表 2 所示。
2.2 溫度敏感點的篩選
為便于實際工程應用，針對溫度傳感器數目進行優化挑選，合理有效地篩選溫度傳感器有助于提高機床熱誤差建模精度。本文采用模糊聚類與回歸關聯度相結合的方法選擇熱誤差關鍵敏感點，具體方法，最終選擇 T6 和 T7 作為溫度敏感點。
3 建模模型的穩健性分析
穩健性是指在模型與實際對象存在一定差距時，模型依然具有較滿意的模擬預測性能。本文利用多元線性回歸的最小二乘、最小一乘估計模型，分布滯后模型以及支持向量回歸機模型對 K16000數據分別建立預測模型，先進行各模型對本批數據的擬合精度進行分析，隨后將該模型用于其他批次采樣數據的預測，以判斷模型的穩健性。同時，根據建模數據的來源批次特征，對各算法給予了穩健性分析。
3.1 不同算法的模型擬合精度分析
各個模型的數學公式如下。
MLR 最小二乘估計公式
式中，T6為 T6 處溫度增量；T7為 T7 處溫度增量。
MLR 最小一乘估計公式 
式中，T6為 T6 處溫度增量，T7為 T7 處溫度增量。DL 模型公式：由權宜估計法判斷分布滯后模型的后階數為二階
式中，通過交叉驗證方法優化參數敏感函數g=0.002 6，懲罰系數 C=24 834；通過軟件 LIBSVM在 Matlab 上運行，可以得到支持向量、支持向量對應的系)以及常數項 b=49.551，l為數據量(本批次為 110 個)。 各模型對 K16000數據擬合標準差如表 3 所示，擬合效果如圖 2 所示。
由表 3 可知，擬合精度 SVR 最優，DL 其次，擬合精度最差的是 MLR 最小一乘算法。為比對各算法穩健性，利用各個模型建立的預測模型對其余批次數據按照同轉速不同溫度(環境溫度變化范圍較大)、同溫度(環境溫度變化較小)不同轉速不同溫度(環境溫度變化范圍較大)不同轉速三種類型進行數據預測，根據預測效果對各個補償模型進行穩健性分析。
3.2 同轉速不同環境溫度分析
以 K16000數據建立的預測模型對 K26000數據進行預測精度分析，分析效果如圖 3 所示；再對K36000數據進行預測精度分析，分析效果如圖 4 所示。各個預測模型的預測標準差如表 4 所示。
通過分析比較可得，轉速不變，環境溫度增加較小時，各個預測模型的預測效果仍然保持較好，但是隨著環境溫度增加較大時，多元線性回歸的最小二乘、最小一乘模型以及分布滯后模型的預測效果變差，其中多元線性回歸的最小二乘算法相對較好，隨后是最小一乘模型，預測效果最差的是分布滯后模型。除此之外，支持向量回歸機模型仍能保持很好的預測精度。
3.3 同溫度不同轉速分析
針對溫度變化范圍較小的不同轉速測量數據，以 K16000數據建立的預測模型對K14000和 K12000數據進行預測精度分析，根據分析數據結果來判斷不同算法建立的模型的穩健性。先對 K14000數據進行分析，分析效果如圖 5 所示；然后分析 K12000數據，分析效果如圖 6 所示。各個預測模型的預測標準差如表 5 所示。
通過分析比較可得，環境溫度基本不變，轉速逐漸降低時，最小二乘和最小一乘模型仍具有一定的預測精度，分布滯后模型預測效果越來越差，而支持向量回歸機模型始終保持很好的預測精度。各算法穩定性優劣依次為支持向量回歸機模型、最小二乘、最小一乘和分布滯后模型。
3.4 不同溫度不同轉速分析
針對環境溫度變化時的不同轉速測量數據，以 K16000數據建立的預測模型對 K24000、K22000、K34000和 K32000數據進行預測精度分析，根據分析數據結果來判斷不同算法建立的模型的穩健性。各個預測模型的預測標準差如表 6 所示。
通過分析比較可得，環境溫度變化幅度較小，轉速逐漸降低時，最小二乘和支持向量回歸機模型具有很好的預測精度，最小一乘模型的預測精度逐漸降低，分布滯后模型預測效果逐漸變差；環境溫度變化幅度較大時(超過 10℃)，轉速逐漸降低時，只有支持向量回歸機模型仍保持較好的預測精度，其他的預測模型的預測效果很差。各算法穩定性優劣依次為支持向量回歸機模型、最小二乘、最小一乘和分布滯后模型。
4 結論
(1) 通過長期測量數控機床熱誤差和關鍵敏感點溫度來獲得多批次的試驗數據，通過多種模型算法進行了預測建模，從機床主軸同轉速不同環境溫度、同環境溫度不同轉速、不同轉速不同環境溫度等三種情況對預測模型的精度與穩定性進行了分析。
(2) 從試驗效果可知，分布滯后模型具有很好的擬合精度，但以一組采樣數據建立的分布滯后模型其穩健性較差。僅以一組采樣數據進行建模，最小一乘模型的穩健性并不優于最小二乘模型，反而略差。最小一乘法穩健性高于最小二乘法的說法，是基于對異常數據處理方面的優勢，而數控機床熱變形測量數據中出現異常數據的概率很小，使得該法的優勢并未得到體現，而且數控機床熱誤差數據樣本量較大，最小一乘算法復雜，相對于最小二乘法，最小一乘法在數控機床熱誤差預測建模中的實際應用效果反而不如最小二乘法。
(3) 支持向量回歸機模型擬合精度高，預測效果保持性好，穩健性強，該算法作為數控機床熱誤差補償的建模算法具有工程應用基礎。
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