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數(shù)控機(jī)床熱誤差補(bǔ)償模型穩(wěn)健性比較分析

2017-12-27 來源：合肥工業(yè)大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院作者：苗恩銘龔亞運(yùn) 徐祗尚周小帥

摘要：數(shù)學(xué)模型的精度特性和穩(wěn)健性特性對(duì)數(shù)控機(jī)床熱誤差補(bǔ)償技術(shù)在實(shí)際中的實(shí)施性影響不容忽視。對(duì)數(shù)控加工中心關(guān)鍵點(diǎn)的溫度和主軸z 向的熱變形量采用多種算法建立了預(yù)測(cè)模型，對(duì)不同算法擬合精度進(jìn)行分析。同時(shí)進(jìn)行全年熱誤差跟蹤試驗(yàn)，獲得了機(jī)床在不同環(huán)境溫度和不同主軸轉(zhuǎn)速的試驗(yàn)條件下的敏感點(diǎn)溫度和熱誤差值。以此為基礎(chǔ)，對(duì)各種預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度進(jìn)行比較驗(yàn)證不同模型的穩(wěn)健性。結(jié)果表明，多元線性回歸算法的最小一乘、最小二乘估計(jì)模型以及分布滯后模型在改變?cè)囼?yàn)條件時(shí)預(yù)測(cè)精度下降，而基于支持向量回歸機(jī)原理的熱誤差補(bǔ)償模型仍能保持較好的預(yù)測(cè)精度，穩(wěn)健性強(qiáng)。這為數(shù)控機(jī)床熱誤差補(bǔ)償模型的選擇提供了具有實(shí)用價(jià)值的參考，具有很好工程應(yīng)用性。

關(guān)鍵詞：數(shù)控機(jī)床；熱誤差；穩(wěn)健性；多元線性回歸模型；分布滯后模型；支持向量回歸機(jī)

0 前言

在數(shù)控機(jī)床的各種誤差源中，熱誤差已經(jīng)成為影響零件加工精度主要誤差來源[1]。減少熱誤差是提高數(shù)控機(jī)床加工精度的關(guān)鍵。在熱誤差補(bǔ)償中，建模技術(shù)則是重點(diǎn)。由于機(jī)床熱誤差在很大程度上取決于加工條件、加工周期、切削液的使用以及周圍環(huán)境等等多種因素，而且熱誤差呈現(xiàn)非線性及交互作用，所以僅用理論分析來精確建立熱誤差數(shù)學(xué)模型是相當(dāng)困難的[2]。最為常用的熱誤差建模方法為試驗(yàn)建模法，即根據(jù)統(tǒng)計(jì)理論對(duì)熱誤差數(shù)據(jù)和機(jī)床溫度值作相關(guān)分析。楊建國(guó)等[3-5]提出了數(shù)控機(jī)床熱誤差分組優(yōu)化建模，根據(jù)溫度變量之間的相關(guān)性對(duì)溫度變量進(jìn)行分組，再與熱誤差進(jìn)行排列組合逐一比較選出溫度敏感點(diǎn)用于回歸建模。韓國(guó)的KIM等[6]運(yùn)用有限元法建立了機(jī)床滾珠絲杠系統(tǒng)的溫度

場(chǎng)。

密執(zhí)安大學(xué)的YANG 等[7]運(yùn)用小腦模型連接控制器神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建立了機(jī)床熱誤差模型。ZENG 等[8]用粗糙集人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)數(shù)控機(jī)床熱誤差分析與建模，并對(duì)建模精度進(jìn)行了論證。CHEN 等[9]運(yùn)用聚類分析理論和逐步回歸選擇三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)熱誤差溫度敏感點(diǎn)，用PT100 測(cè)量溫度、激光干涉儀測(cè)量三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)熱誤差，建立了多元線性模型。由于這些建模方式是離線和預(yù)先建模，而且建模數(shù)據(jù)采集于某段時(shí)間，故用這些方法建立起來的熱誤差數(shù)學(xué)模型的穩(wěn)健性顯然不夠，一般隨著季節(jié)的變化難以長(zhǎng)期正確地預(yù)報(bào)熱誤差。近年來，支持向量機(jī)是發(fā)展起來的一種專門研究小樣本情況下的機(jī)器學(xué)習(xí)規(guī)律理論，被認(rèn)為是針對(duì)小樣本統(tǒng)計(jì)和預(yù)測(cè)學(xué)習(xí)的最佳理論[10]。支持向量機(jī)建立在Vapnik-Chervonenkis 維理論基礎(chǔ)上，采用結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則，不僅結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，且有效解決了模型選擇與欠學(xué)習(xí)、過學(xué)習(xí)、小樣本、非線性、局部最優(yōu)和維數(shù)災(zāi)難等問題，泛化能力大大提高[11-12]。本文對(duì)Leader way V-450 型數(shù)控加工中心進(jìn)行熱誤差測(cè)量試驗(yàn)，采用模糊聚類與灰色關(guān)聯(lián)度理論綜合應(yīng)用進(jìn)行了溫度敏感點(diǎn)選擇，同時(shí)利用多元線性回歸模型，分布滯后模型，支持向量回歸機(jī)模型分別建立熱誤差補(bǔ)償模型，并對(duì)多元回歸模型分別采用最小二乘和最小一乘估計(jì)，通過比對(duì)各種模型的穩(wěn)健性，從而為數(shù)控機(jī)床熱誤差補(bǔ)償建模方法的選擇提供了參考，具有實(shí)際的工程應(yīng)用價(jià)值。

1 、熱誤差建模模型

1.1 多元線性回歸模型

多元線性回歸(Multiple linear regression, MLR)是一種用統(tǒng)計(jì)方法尋求多輸入和單輸出關(guān)系的模型。熱誤差的多元線性回歸模型以多個(gè)關(guān)鍵溫度敏感點(diǎn)測(cè)量的溫度增量值為自變量，以熱變形量為因變量，其通用表達(dá)式為

同時(shí)，采用最小一乘和最小二乘兩種準(zhǔn)則對(duì)線性回歸模型進(jìn)行估計(jì)計(jì)算。最小二乘法在方法上較為成熟，在理論上也較為完善，是一種常用的最優(yōu)擬合方法，目前廣泛應(yīng)用于科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的許多實(shí)際問題中，在數(shù)控機(jī)床建模技術(shù)中也有很多的應(yīng)用。而最小一乘法受異常值的影響較小，其穩(wěn)健性比最小二乘法的要好，但最小一乘回歸屬于不可微問題，計(jì)算具有較大的難度。文中針對(duì)最小一乘的算法采用文獻(xiàn)[13]的算法理論和Matlab 程序。最小二乘準(zhǔn)則——殘差平方和最小，即

式中 IID ——標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的相互獨(dú)立變量；

n ——最大滯后期；

a0 ——常數(shù)項(xiàng)；

u ——外生變量個(gè)數(shù)；

yt ——因變量；

βj,i ——系數(shù)；

xj,t?i

——第j 個(gè)自變量的t?i 期值。

對(duì)于滯后階數(shù)n 的確定，由于試驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)量比較大，所以可以采用簡(jiǎn)單的權(quán)宜估計(jì)法。即取n=1,2, ,i，對(duì)不同的i 條件下經(jīng)最小二乘擬合，當(dāng)滯后變量的回歸系數(shù)開始變得統(tǒng)計(jì)不顯著，或其中有一個(gè)變量的系數(shù)改變符號(hào)時(shí)，i?1 就是最終的滯后階數(shù)。

1.3 支持向量回歸機(jī)模型

統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論是由VAPNIK[11]建立的一種專門研究有限樣本情況下機(jī)器學(xué)習(xí)規(guī)律的理論，支持向量機(jī)是在這一理論基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種新的分類和回歸工具。支持向量機(jī)通過結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原理來提高泛化能力，并能較好地解決小樣本、非線性、高維數(shù)、局部極小點(diǎn)等實(shí)際問題，其已在模式識(shí)別、信號(hào)處理、函數(shù)逼近等領(lǐng)域應(yīng)用。

引入拉格朗日函數(shù)，可得凸二次規(guī)劃問題

2 、試驗(yàn)設(shè)計(jì)

2.1 試驗(yàn)方案

本文對(duì)Leader way V-450 數(shù)控加工中心主軸z向進(jìn)行熱誤差測(cè)量試驗(yàn)，各傳感器的安放位置及作用如表1 所示，溫度傳感器和電感測(cè)微儀具體分布位置如圖1 所示。

圖1 熱誤差測(cè)量試驗(yàn)

表1 傳感器安放位置及作用

試驗(yàn)對(duì)數(shù)控加工中心在不同季節(jié)(不同環(huán)境溫度)、不同主軸轉(zhuǎn)速下進(jìn)行了9 次熱誤差測(cè)量試驗(yàn)，測(cè)量的次數(shù)、轉(zhuǎn)速及環(huán)境溫度如表2 所示。

表2 試驗(yàn)批次的主軸轉(zhuǎn)速和環(huán)境溫度

表2 中，Knm 含義是，第n 次測(cè)量的主軸轉(zhuǎn)速在m 的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。如K12000 表示第一次測(cè)量的主軸轉(zhuǎn)速在2 000 r/min 的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，K22000 表示不同環(huán)境溫度下第二次測(cè)量的主軸轉(zhuǎn)速在2 000 r/min 的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，K32000 表示不同環(huán)境溫度下第三次測(cè)量的主軸轉(zhuǎn)速在2 000 r/min 的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

2.2 溫度敏感點(diǎn)的篩選

為便于實(shí)際工程應(yīng)用，針對(duì)溫度傳感器數(shù)目進(jìn)行優(yōu)化挑選，合理有效地篩選溫度傳感器有助于提高機(jī)床熱誤差建模精度。本文采用模糊聚類與回歸關(guān)聯(lián)度相結(jié)合的方法選擇熱誤差關(guān)鍵敏感點(diǎn)，具體方法參考文獻(xiàn)[15]，最終選擇T6 和T7 作為溫度敏感點(diǎn)。

3 、建模模型的穩(wěn)健性分析

穩(wěn)健性是指在模型與實(shí)際對(duì)象存在一定差距時(shí)，模型依然具有較滿意的模擬預(yù)測(cè)性能。本文利用多元線性回歸的最小二乘、最小一乘估計(jì)模型，分布滯后模型以及支持向量回歸機(jī)模型對(duì)K16000 數(shù)據(jù)分別建立預(yù)測(cè)模型，先進(jìn)行各模型對(duì)本批數(shù)據(jù)的擬合精度進(jìn)行分析，隨后將該模型用于其他批次采樣數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)，以判斷模型的穩(wěn)健性。同時(shí)，根據(jù)建模數(shù)據(jù)的來源批次特征，對(duì)各算法給予了穩(wěn)健性分析。

3.1 不同算法的模型擬合精度分析

表3 各模型的擬合標(biāo)準(zhǔn)差 μm

由表3 可知，擬合精度SVR 最優(yōu)，DL 其次，擬合精度最差的是MLR 最小一乘算法。

圖2 對(duì)K16000 擬合效果

為比對(duì)各算法穩(wěn)健性，利用各個(gè)模型建立的預(yù)測(cè)模型對(duì)其余批次數(shù)據(jù)按照同轉(zhuǎn)速不同溫度(環(huán)境溫度變化范圍較大)、同溫度(環(huán)境溫度變化較小)不同轉(zhuǎn)速、不同溫度(環(huán)境溫度變化范圍較大)不同轉(zhuǎn)速三種類型進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)，根據(jù)預(yù)測(cè)效果對(duì)各個(gè)補(bǔ)償模型進(jìn)行穩(wěn)健性分析。

3.2 同轉(zhuǎn)速不同環(huán)境溫度分析

以K16000 數(shù)據(jù)建立的預(yù)測(cè)模型對(duì)K26000 數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)精度分析，分析效果如圖3 所示；再對(duì)K36000數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)精度分析，分析效果如圖4 所示。各個(gè)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差如表4 所示。

表4 各模型的預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差 μm

圖3 對(duì)K26000 預(yù)測(cè)效果

圖4 對(duì)K36000 預(yù)測(cè)效果

通過分析比較可得，轉(zhuǎn)速不變，環(huán)境溫度增加較小時(shí)，各個(gè)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)效果仍然保持較好，但是隨著環(huán)境溫度增加較大時(shí)，多元線性回歸的最小二乘、最小一乘模型以及分布滯后模型的預(yù)測(cè)效果變差，其中多元線性回歸的最小二乘算法相對(duì)較好，隨后是最小一乘模型，預(yù)測(cè)效果最差的是分布滯后模型。除此之外，支持向量回歸機(jī)模型仍能保

持很好的預(yù)測(cè)精度。

3.3 同溫度不同轉(zhuǎn)速分析

針對(duì)溫度變化范圍較小的不同轉(zhuǎn)速測(cè)量數(shù)據(jù)，以K16000 數(shù)據(jù)建立的預(yù)測(cè)模型對(duì)K14000 和K12000 數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)精度分析，根據(jù)分析數(shù)據(jù)結(jié)果來判斷不同算法建立的模型的穩(wěn)健性。先對(duì)K14000 數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，分析效果如圖5 所示；然后分析K12000 數(shù)據(jù)，分析效果如圖6 所示。各個(gè)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差如表5 所示。

表5 各模型的預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差 μm

圖5 對(duì)K14000 預(yù)測(cè)效果

圖6 對(duì)K12000 預(yù)測(cè)效果

通過分析比較可得，環(huán)境溫度基本不變，轉(zhuǎn)速逐漸降低時(shí)，最小二乘和最小一乘模型仍具有一定的預(yù)測(cè)精度，分布滯后模型預(yù)測(cè)效果越來越差，而支持向量回歸機(jī)模型始終保持很好的預(yù)測(cè)精度。各算法穩(wěn)定性優(yōu)劣依次為支持向量回歸機(jī)模型、最小二乘、最小一乘和分布滯后模型。

3.4 不同溫度不同轉(zhuǎn)速分析

針對(duì)環(huán)境溫度變化時(shí)的不同轉(zhuǎn)速測(cè)量數(shù)據(jù)，以K16000 數(shù)據(jù)建立的預(yù)測(cè)模型對(duì)K24000、K22000、K34000和K32000 數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)精度分析，根據(jù)分析數(shù)據(jù)結(jié)果來判斷不同算法建立的模型的穩(wěn)健性。各個(gè)預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差如表6 所示。

表6 各模型的預(yù)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差 μm

通過分析比較可得，環(huán)境溫度變化幅度較小，轉(zhuǎn)速逐漸降低時(shí)，最小二乘和支持向量回歸機(jī)模型具有很好的預(yù)測(cè)精度，最小一乘模型的預(yù)測(cè)精度逐漸降低，分布滯后模型預(yù)測(cè)效果逐漸變差；環(huán)境溫度變化幅度較大時(shí)(超過10 ℃)，轉(zhuǎn)速逐漸降低時(shí)，只有支持向量回歸機(jī)模型仍保持較好的預(yù)測(cè)精度，其他的預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)效果很差。各算法穩(wěn)定性優(yōu)劣依次為支持向量回歸機(jī)模型、最小二乘、最小一乘和分布滯后模型。

4 、結(jié)論

(1) 通過長(zhǎng)期測(cè)量數(shù)控機(jī)床熱誤差和關(guān)鍵敏感點(diǎn)溫度來獲得多批次的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過多種模型算法進(jìn)行了預(yù)測(cè)建模，從機(jī)床主軸同轉(zhuǎn)速不同環(huán)境溫度、同環(huán)境溫度不同轉(zhuǎn)速、不同轉(zhuǎn)速不同環(huán)境溫度等三種情況對(duì)預(yù)測(cè)模型的精度與穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。

(2) 從試驗(yàn)效果可知，分布滯后模型具有很好的擬合精度，但以一組采樣數(shù)據(jù)建立的分布滯后模型其穩(wěn)健性較差。僅以一組采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，最小一乘模型的穩(wěn)健性并不優(yōu)于最小二乘模型，反而略差。最小一乘法穩(wěn)健性高于最小二乘法的說法，是基于對(duì)異常數(shù)據(jù)處理方面的優(yōu)勢(shì)，而數(shù)控機(jī)床熱變形測(cè)量數(shù)據(jù)中出現(xiàn)異常數(shù)據(jù)的概率很小，使得該

法的優(yōu)勢(shì)并未得到體現(xiàn)，而且數(shù)控機(jī)床熱誤差數(shù)據(jù)樣本量較大，最小一乘算法復(fù)雜，相對(duì)于最小二乘法，最小一乘法在數(shù)控機(jī)床熱誤差預(yù)測(cè)建模中的實(shí)際應(yīng)用效果反而不如最小二乘法。

(3) 支持向量回歸機(jī)模型擬合精度高，預(yù)測(cè)效果保持性好，穩(wěn)健性強(qiáng)，該算法作為數(shù)控機(jī)床熱誤差補(bǔ)償?shù)慕Ｋ惴ň哂泄こ虘?yīng)用基礎(chǔ)。

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